01 de Abril del 2014
SUCESIONES Y SERIES DE VARIABLE COMPLEJA
* Las sucesiones y series de variable compleja son muy similares a las sucesiones y series de variable real.
* La serie de Laurent es la única que se aplica únicamente para variable compleja.
SUCESIONES
* Una sucesión compleja es una función de los naturales sobre los complejos.
Ejemplo:
f(n) = i^n
Los elementos de esta sucesión son:
{i^0, i^1, i^2 ,i^3, i^4, i^5...... i^n}
La sucesión de variable compleja se denota por : {Zn}
PROPIEDADES
1.- Sea {Zn} = Xn + i Yn, para cada numero positivo n, y sea L = a+ib, entonces:
Limite {Zn} =L si y solo si Limite Xn =a ^ Limite Yn =b
n → Infinito n→infinito n→infinito
si la proposición anterior se cumple entonces se puede concluir que {Zn} es convergente
Se puede asociar una idea de convergencia a un valor al cual la sucesión se aproxima.
Suponiendo que {Zn}→ L ^ {Wn}→ K entonces:
2.- {Zn}+{Wn} → L+K
3.- A{Zn} → AL ; A pertenece a los complejos
4.- {Zn}{Wn} → L*K
5.- {Zn}/{Wn} → L/K ; Válido para Wn distinto de 0.
SERIES
Si sumamos los elementos de una sucesión, obtenemos una serie, que se la representa por :
La convergencia de la serie compleja la determinamos por intermedio de las serie reales que la conforman.
PROPIEDADES
Sea {Zn}=Xn + iYn, entonces:
Para enunciar las propiedades se asignará de ahora en adelante la letra B para representar el sumatorio desde n=1 hasta infinito; ejemplo, B Xn representará al sumatorio desde n=1 hasta infinito de Xn
1.- B Zn converge si y solo si B Xn y B Yn convergen.
2.- Si B Xn converge a "a" y B Yn converge a "b", entonces B Zn converge a "a+bi"
3.- Si B Zn converge entonces, {Zn}→0
la proposición equivalente a la propiedad 3 es:
Si limite {Zn} es distinto de cero → B Zn diverge.
n→infinito
EJEMPLOS:
Analizar la convergencia o divergencia de las siguientes series:
04 de Abril
Se puede obtener como conclusión que cuando el límite sea 1 en cualquiera de los métodos que se utilizará principalmente, se deberá buscar otro método de análisis para determinar la convergencia o la divergencia de la serie.
1) Si 0<R<1 entonces la serie de potencias es convergente.
2) Si R>1 entonces la serie de potencias es divergente.
* Al referirse al termino "serie de potencias" se hace referencia a la expresión de la sumatoria de la imagen anterior
Una función analítica admite un desarrollo mediante una serie de Taylor compleja, similar a la serie de funciones reales.
PROPIEDAD 1
Si f(z) es analítica en Zo, entonces f tiene un desarrollo mediante una serie de Taylor representada por:
donde en el numerador del sumatorio se encuentra la derivada de orden n evaluada en el punto a, en donde a también puede ser el numero cero.
Cuando el numero a=0 entonces hablamos de una serie de Maclaurin.
La región de análisis será un disco de centro Zo y de radio r.
Algunas serie trascendentes
11 de Abril
Los métodos más usados son:
1) Por Sustitución.- Se parte de una serie de Taylor conocida, por ejemplo la de exp (z) y se sustituye lo que se quiera< obtener como nueva exponente, por ejemplo una sustirución podria ser, sea w= -z y se desarrolla la serie como si fuera un exp (z) solo que en vez de z tenemos w.
2)Por División.- Se divide la fracción que se posea, hasta obtener un patrón de la serie
3)Por Derivación.- Se asume una g(z) que tenga que ver con la derivada de la función que queremos hallar la serie de Taylor, posteriormente se procede a derivar ambos miembros de la función que se asume, la función que se asume de preferencia tiene que ser una serie conocida, luego como la derivada de g(z)=f(z) entonces se obtiene el patrón de la serie.
4) Por Integración.- Mismo proceso que el de derivación, pero ahora se busca una g(z) que tenga que ver con la integral de f(z).
Se debe llegar a una expresión del tipo:
donde k es un numero real
Cuando se tenga fracciones impropias, se debe hallar las fracciones parciales correspondientes y se debe trabajar con cada una de ellas como si fuera una serie única.
15 de Abril
Si f(z) no es analítica en Zo no admite un desarrollo mediante una serie de Taylor, PERO SI admite un desarrollo mediante la serie de Laurent.
La serie de Laurent es exclusiva para funciones de variable compleja, y no le interesa si f(z) es analítica o no.
PROPIEDAD 1
Si f es analítica en el anillo r1<Z-Zo<r2 entonces para z en este anillo:
También se realizaron algunos ejercicios del tema.
Algunos ejemplos se pueden encontrar en el siguiente documento
18 de Abril
Se dio inicio a las exposiciones de los grupos 1 y 2 respectivamente.
Se entiende como punto(s) singular(es) a aquellos en los puntos en los cuales la función deja de ser analítica.
Existen 2 clases de puntos singulares que son:
POLOS
Se dice que existe un polo en Zo si :
generalmente se analiza la existencia de polos en funciones que posean denominadores en los cuales sea posible factorar o dejarlo expresado en varios factores.
Los polos pueden ser de orden 1 ,2, 3,.... n por ejemplo, la funcion f(z)= 1/(z*z) tiene un polo de orden 2 en Zo =0.
RAMIFICACIONES
Se caracteriza por tener exponentes fraccionarios y logaritmos en las funciones, por ejemplo en la función
f(z) = (z-3)^1/2 tiene un puntos de ramificación en Z=3.
Singularidad Removible.- Es cuando se puede extender el dominio de f a todo el plano complejo, asignando una imagen al punto en el cual la función no existe, en otras palabras hay que redefinirla.
Singularidad Esencial.- No son ni polos ni ramificaciones, de manera que no se puede redefinirla
Singularidad en el infinito.- Cuando al hacer un cambio de variable, la variable Z tiende al infinito.
Si f tiene una singularidad evitable en Zo, el residuo vale cero.
Si f tiene un polo de orden k en Zo, el residuo se obtiene de la siguiente manera:
Si f(z) = g(z)/h(z) y si g(Zo) es diferente de cero Y h(Zo)=0 Y la derivada de h(Zo) es distinta de cero, entonces:
Res (f,Zo) =g(Zo)/derivada de h (Zo)
También es de utilidad lo siguiente:
22 de Abril
Se lo utiliza para calcular integrales de linea a lo largo de una curva.
para más ejemplos se puede ver en el documento siguiente:
25 de Abril
Prueba 1 correspondiente al segundo bimestre.
29 de Abril
La transformada de Laplace transforma una función definida en la variable X, por otra función definida en la variable S.
4.- {Zn}{Wn} → L*K
5.- {Zn}/{Wn} → L/K ; Válido para Wn distinto de 0.
SERIES
Si sumamos los elementos de una sucesión, obtenemos una serie, que se la representa por :
La convergencia de la serie compleja la determinamos por intermedio de las serie reales que la conforman.
PROPIEDADES
Sea {Zn}=Xn + iYn, entonces:
Para enunciar las propiedades se asignará de ahora en adelante la letra B para representar el sumatorio desde n=1 hasta infinito; ejemplo, B Xn representará al sumatorio desde n=1 hasta infinito de Xn
1.- B Zn converge si y solo si B Xn y B Yn convergen.
2.- Si B Xn converge a "a" y B Yn converge a "b", entonces B Zn converge a "a+bi"
3.- Si B Zn converge entonces, {Zn}→0
la proposición equivalente a la propiedad 3 es:
Si limite {Zn} es distinto de cero → B Zn diverge.
n→infinito
EJEMPLOS:
Analizar la convergencia o divergencia de las siguientes series:
04 de Abril
SERIES ESPECIALES
Entre las series especiales tenemos a las series geométrica, armónica y la serie P.
CRITERIOS DE CONVERGENCIA
Criterio del Cociente o de la Razón (D´ Alembert)
Criterio de la Raiz
Se puede obtener como conclusión que cuando el límite sea 1 en cualquiera de los métodos que se utilizará principalmente, se deberá buscar otro método de análisis para determinar la convergencia o la divergencia de la serie.
08 de Abril
PROPIEDADES
Sea Zn distinto de cero y suponiendo que lim Zn+1/Zn = R
n→infinitoSea Zn distinto de cero y suponiendo que lim Zn+1/Zn = R
1) Si 0<R<1 entonces la serie de potencias es convergente.
2) Si R>1 entonces la serie de potencias es divergente.
* Al referirse al termino "serie de potencias" se hace referencia a la expresión de la sumatoria de la imagen anterior
SERIES DE TAYLOR
Una función analítica admite un desarrollo mediante una serie de Taylor compleja, similar a la serie de funciones reales.
PROPIEDAD 1
Si f(z) es analítica en Zo, entonces f tiene un desarrollo mediante una serie de Taylor representada por:
donde en el numerador del sumatorio se encuentra la derivada de orden n evaluada en el punto a, en donde a también puede ser el numero cero.
Cuando el numero a=0 entonces hablamos de una serie de Maclaurin.
La región de análisis será un disco de centro Zo y de radio r.
Algunas serie trascendentes
11 de Abril
MÉTODOS DE DESARROLLO DE UNA SERIE DE TAYLOR
Los métodos más usados son:
1) Por Sustitución.- Se parte de una serie de Taylor conocida, por ejemplo la de exp (z) y se sustituye lo que se quiera< obtener como nueva exponente, por ejemplo una sustirución podria ser, sea w= -z y se desarrolla la serie como si fuera un exp (z) solo que en vez de z tenemos w.
2)Por División.- Se divide la fracción que se posea, hasta obtener un patrón de la serie
3)Por Derivación.- Se asume una g(z) que tenga que ver con la derivada de la función que queremos hallar la serie de Taylor, posteriormente se procede a derivar ambos miembros de la función que se asume, la función que se asume de preferencia tiene que ser una serie conocida, luego como la derivada de g(z)=f(z) entonces se obtiene el patrón de la serie.
4) Por Integración.- Mismo proceso que el de derivación, pero ahora se busca una g(z) que tenga que ver con la integral de f(z).
GENERALIZACIÓN DE UNA SERIE EN UN PUNTO Zo DIFERENTE DE CERO
Se debe llegar a una expresión del tipo:
donde k es un numero real
Cuando se tenga fracciones impropias, se debe hallar las fracciones parciales correspondientes y se debe trabajar con cada una de ellas como si fuera una serie única.
15 de Abril
SERIE DE LAURENT
Si f(z) no es analítica en Zo no admite un desarrollo mediante una serie de Taylor, PERO SI admite un desarrollo mediante la serie de Laurent.
La serie de Laurent es exclusiva para funciones de variable compleja, y no le interesa si f(z) es analítica o no.
PROPIEDAD 1
Si f es analítica en el anillo r1<Z-Zo<r2 entonces para z en este anillo:
También se realizaron algunos ejercicios del tema.
Algunos ejemplos se pueden encontrar en el siguiente documento
18 de Abril
Se dio inicio a las exposiciones de los grupos 1 y 2 respectivamente.
Grupo 1 GR4
https://docs.google.com/presentation/d/1LiCCOHawx5Y3uoIpHfvic5J68tPN1BJIzqdfoCMk6y0/edit#slide=id.p
Grupo 2 GR4
https://docs.google.com/presentation/d/1Xgs1keh4yMquEMaQR0lUcNqTc9Bi7wb_qjk6Qh_-20w/edit#slide=id.g12c2eaedd_0110
Grupo 1 GR2
PUNTOS SINGULARES
Existen 2 clases de puntos singulares que son:
POLOS
Se dice que existe un polo en Zo si :
generalmente se analiza la existencia de polos en funciones que posean denominadores en los cuales sea posible factorar o dejarlo expresado en varios factores.
Los polos pueden ser de orden 1 ,2, 3,.... n por ejemplo, la funcion f(z)= 1/(z*z) tiene un polo de orden 2 en Zo =0.
RAMIFICACIONES
Se caracteriza por tener exponentes fraccionarios y logaritmos en las funciones, por ejemplo en la función
f(z) = (z-3)^1/2 tiene un puntos de ramificación en Z=3.
TIPOS DE SINGULARIDADES
Singularidad Removible.- Es cuando se puede extender el dominio de f a todo el plano complejo, asignando una imagen al punto en el cual la función no existe, en otras palabras hay que redefinirla.
Singularidad Esencial.- No son ni polos ni ramificaciones, de manera que no se puede redefinirla
Singularidad en el infinito.- Cuando al hacer un cambio de variable, la variable Z tiende al infinito.
TEOREMA DEL RESIDUO
Si f tiene una singularidad evitable en Zo, el residuo vale cero.
Si f tiene un polo de orden k en Zo, el residuo se obtiene de la siguiente manera:
Si f(z) = g(z)/h(z) y si g(Zo) es diferente de cero Y h(Zo)=0 Y la derivada de h(Zo) es distinta de cero, entonces:
Res (f,Zo) =g(Zo)/derivada de h (Zo)
También es de utilidad lo siguiente:
APLICACIONES DEL TEOREMA DEL RESIDUO
Se lo utiliza para calcular integrales de linea a lo largo de una curva.
para más ejemplos se puede ver en el documento siguiente:
25 de Abril
Prueba 1 correspondiente al segundo bimestre.
29 de Abril
TRANSFORMADA DE LAPLACE Y SU TRANSFORMADA INVERSA
La transformada de Laplace transforma una función definida en la variable X, por otra función definida en la variable S.
TABLA DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE
No hay comentarios:
Publicar un comentario