Semana del 03 al 07
Clase 1.- 04-02-2014
En la primera clase de matemática avanzada se dio indicaciones generales además de conocer a nuestra profesora de la materia anteriormente mencionada, también se habló de los objetivos del presente curso, así como del uso del Internet para lograr un aprendizaje diferente, pero diferente en el sentido de que si aprovechamos de manera adecuada las diferentes herramientas computacionales lograremos un mejor aprendizaje de la materia y la aprobaremos de la mejor manera.
Clase 2.- 07-02-2014
Empezamos oficialmente el semestre 2014-A con los números complejos!
i=
Unidad imaginaria
Número complejo (Z).- Se denomina a un numero complejo a aquel que posee una parte real (Re(Z)) y una parte imaginaria (Im(Z)), se lo representa en el plano complejo siendo el eje X el de la parte real y el eje Y el correspondiente a la parte imaginaria.
Numero imaginario Puro.- Es aquel que carece de parte real.
Numero real.- Es aquel que carece de parte imaginaria, o su parte imaginaria equivale a cero.
Forma binómica de un número complejo.- Z= x+iy; siendo x e y elemento de los números reales
Semana del 10 al 14.
Clase 11-02-2014
Módulo de un número complejo.- Se lo llama módulo porque es básicamente la distancia que hay entre el origen y el número complejo. Se lo determina mediante el teorema de pitágoras.
Representación Trigonométrica de un número complejo.- Se tienen las siguientes ecuaciones.
Sea r el módulo del numero complejo, se tiene:
y= r sen θ ; x = r Cos θ
θ = Arc tan (y/x)
el numero expresado en forma trigonométrica es:
Z = r Cis θ , siendo r el módulo del numero complejo y θ el argumento del mismo
Cis θ = Cos θ + i Sen θ
Propiedades
1.- IzI IwI = Iz*wI
2.- Si IwI es diferente de cero entonces: IzI/IwI = Iz*wI
3.- arg (z*w) = arg (z) + arg (w)
4.- arg (z/w) = arg(z) - arg (w) ; si w es diferente de cero
Producto de números complejos expresados en forma trigonométrica
Sean Z1 = r1 Cis θ1 y Z2 = r2 Cis θ2 entonces:
División de números complejos expresados en forma trigonométrica
Sean Z1 = r1 Cis θ1 y Z2 = r2 Cis θ2 entonces:
Z1/Z2 = r1/r2 Cis (θ1-θ2)
Para hallar la n-ésima potencia de un numero complejo expresado en su forma trigonométrica basta aplicar lo siguiente:
( Z = r Cis θ)n = rn Cis n*θ
Radicación
Para hallar la n-ésima raiz de un número complejo expresado en su forma trigonométrica se aplica lo siguiente:
Z 1/n = ( r)1/n Cis (θ+2πk); con K= 1,2,3,4....... n-1
Este teorema es muy utilizado en ejercicios que tienen muchos productos de números complejos en su haber, de manera que se facilitan los cálculos mediante la aplicación del teorema.
Fórmula de Euler
Sea Z = ix, entonces e ix = Cos x +i SEn x ; válido para todo ángulo x perteneciente al plano complejo
Sea Z = x+ iy entonces e x+iy = e x (Cos y +i Sen y)
Forma Exponencial de un número complejo
Z = r*e i θ
Semana del 17 al 21
Clase 5.- 18-02-2014
Logaritmo de un número complejo
A diferencia de los logaritmos de los números reales, en los complejos solo existen logaritmos naturales, y exponenciales de base e. Además de saber que el logaritmo de un numero complejo me da como resultado otro número complejo. Generalmente en los libros se encuentra otra notación pero ya se sabe que no existen logaritmos complejos de sabe distinta a la de e.
Z = r*e i θ log z = ln z (Notación posible en los libros)
ln z = ln r +i (θ+2πk)
Propiedades:
1.- Sean Z y W números complejos distintos de cero, entonces:
2.- arg (z*w) = arg (z) + arg (w)
3.- arg (z/w) = arg(z) - arg (w) ; si w es diferente de cero
4.- Para cualquier numero racional α, se cumple
log z(α) = α log (z)
5.- Exponencial Compleja General
Sean Z1 y Z2 numeros complejos siendo Z1 distinto de cero, entonces:
Clase 6.- 21-02-2014
En las funciones de variable compleja se van a distinguir una clase en particular, las llamadas funciones netamente complejas, ya que en dicha función pueden existir términos que sean de tipo conjugado de Z, y por ende no se los trata como las funciones reales, ya que en los números reales no existen los conjugados, a diferencia de los números complejos.
Ejemplo:
Sea f(Z) = 1/(1+Z) determine F(-i); Dom (f)= C/(-1,0)
f(-i)= 1/(1+i)
Clase 1.- 04-02-2014
En la primera clase de matemática avanzada se dio indicaciones generales además de conocer a nuestra profesora de la materia anteriormente mencionada, también se habló de los objetivos del presente curso, así como del uso del Internet para lograr un aprendizaje diferente, pero diferente en el sentido de que si aprovechamos de manera adecuada las diferentes herramientas computacionales lograremos un mejor aprendizaje de la materia y la aprobaremos de la mejor manera.
Clase 2.- 07-02-2014
Empezamos oficialmente el semestre 2014-A con los números complejos!
i=
Unidad imaginariaNúmero complejo (Z).- Se denomina a un numero complejo a aquel que posee una parte real (Re(Z)) y una parte imaginaria (Im(Z)), se lo representa en el plano complejo siendo el eje X el de la parte real y el eje Y el correspondiente a la parte imaginaria.
Numero imaginario Puro.- Es aquel que carece de parte real.
Numero real.- Es aquel que carece de parte imaginaria, o su parte imaginaria equivale a cero.
Forma binómica de un número complejo.- Z= x+iy; siendo x e y elemento de los números reales
Representación gráfica de un número complejo
OPERACIONES BÁSICAS CON NÚMEROS COMPLEJOS
Suma.- Se la realiza básicamente sumando la parte real de cada numero con la parte real del otro número y haciendo exactamente lo mismo con la parte imaginaria de los mismos.
Sean Z1=x+iy y Z2=w+ik entonces Z1+Z2=(x+w)+i(y+k)
Inverso Aditivo.- El inverso aditivo no es más que el negativo de el número complejo dado originalmente.
Sea Z1=x+iy entonces su inverso aditivo es : Z2=-x-iy
Producto entre números complejos.- Esta operación se la realiza haciendo una propiedad distributiva y posteriormente haciendo una asociación de términos semejantes.
Sean Z1=x1+iy1, y Z2=x2+iy2 entonces Z1*Z2= (x1x2-y1y2) +i(x2y1+x1y2)
Conjugado de un numero complejo.- Sea Z1= x1+iy1 entonces su conjugado es Z2= x1-iy1, generalmente se ocupa el conjugado de un numero complejo para la resolución de una división de números complejos.
División de números complejos.- Viene dado por la siguiente expresión
pero es de mucha utilidad darse cuenta que si en el denominador existe un numero complejo, hay que multiplicar y dividir por el conjugado de dicho numero.
Semana del 10 al 14.
Clase 11-02-2014
Módulo de un número complejo.- Se lo llama módulo porque es básicamente la distancia que hay entre el origen y el número complejo. Se lo determina mediante el teorema de pitágoras.
Sea r el módulo del numero complejo, se tiene:
y= r sen θ ; x = r Cos θ
θ = Arc tan (y/x)
el numero expresado en forma trigonométrica es:
Z = r Cis θ , siendo r el módulo del numero complejo y θ el argumento del mismo
Cis θ = Cos θ + i Sen θ
Propiedades
1.- IzI IwI = Iz*wI
2.- Si IwI es diferente de cero entonces: IzI/IwI = Iz*wI
3.- arg (z*w) = arg (z) + arg (w)
4.- arg (z/w) = arg(z) - arg (w) ; si w es diferente de cero
Producto de números complejos expresados en forma trigonométrica
Sean Z1 = r1 Cis θ1 y Z2 = r2 Cis θ2 entonces:
Z1*Z2 = r1r2 Cis (θ1+θ2)
Sean Z1 = r1 Cis θ1 y Z2 = r2 Cis θ2 entonces:
Z1/Z2 = r1/r2 Cis (θ1-θ2)
Clase 4.- 14-02-2014
Potenciación y radicación de números complejos
Sea Z = r Cis θ
Potenciación (Teorema de Moivre)
Para hallar la n-ésima potencia de un numero complejo expresado en su forma trigonométrica basta aplicar lo siguiente:
( Z = r Cis θ)n = rn Cis n*θ
Radicación
Para hallar la n-ésima raiz de un número complejo expresado en su forma trigonométrica se aplica lo siguiente:
Z 1/n = ( r)1/n Cis (θ+2πk); con K= 1,2,3,4....... n-1
Serie de Taylor
Sea Z = ix, entonces e ix = Cos x +i SEn x ; válido para todo ángulo x perteneciente al plano complejo
Sea Z = x+ iy entonces e x+iy = e x (Cos y +i Sen y)
Forma Exponencial de un número complejo
Z = r*e i θ
Semana del 17 al 21
Clase 5.- 18-02-2014
Logaritmo de un número complejo
A diferencia de los logaritmos de los números reales, en los complejos solo existen logaritmos naturales, y exponenciales de base e. Además de saber que el logaritmo de un numero complejo me da como resultado otro número complejo. Generalmente en los libros se encuentra otra notación pero ya se sabe que no existen logaritmos complejos de sabe distinta a la de e.
Z = r*e i θ log z = ln z (Notación posible en los libros)
ln z = ln r +i (θ+2πk)
Propiedades:
1.- Sean Z y W números complejos distintos de cero, entonces:
e log
(z) = z y log e(z)
= z
2.- arg (z*w) = arg (z) + arg (w)
3.- arg (z/w) = arg(z) - arg (w) ; si w es diferente de cero
4.- Para cualquier numero racional α, se cumple
log z(α) = α log (z)
5.- Exponencial Compleja General
Sean Z1 y Z2 numeros complejos siendo Z1 distinto de cero, entonces:
Si W = Z1Z2
entonces ln W = Z2 ln Z1 y
por lo tanto W = e Z2 ln Z1
Clase 6.- 21-02-2014
FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA
En una función de variable compleja tenemos que su dominio son los números complejos y su recorrido también se encuentra en el conjunto de los números complejos, por esta razón las funciones de variable compleja no se pueden graficar por lo antes mencionado. Para proceder al cálculo de la imagen de una función de variable compleja simplemente se lo realiza como se lo hacía para funciones de una variable.
Ejemplo:
Sea f(Z) = 1/(1+Z) determine F(-i); Dom (f)= C/(-1,0)
f(-i)= 1/(1+i)
LÍMITES
Como concepto fundamental tenemos que los límites de funciones de variable compleja están definidas en regiones llamadas discos de centro Zo y de radio delta, y no en el eje X como lo era en las funciones reales.
En esta dirección se pueden encontrar cosas importantes acerca de las funciones de variable compleja, límites, continuidad de funciones de variable compleja.
http://www2.caminos.upm.es/departamentos/matematicas/Fdistancia/PIE/Analisis%20matematico/Temas/C02_Funciones_complejas.pdf
Clase 7 .- 25-02-2014
La continuidad en funciones de variable compleja no difiere mucho de lo que es la continuidad en funciones reales, simplemente difiere en el hecho de que tenemos un disco de radio delta como región de aproximación, de manera que para que una función de variable compleja sea continua en Zo debe cumplir lo siguiente:
Se dice que una función tiene discontinuidad inevitable cuando el límite de f(z) cuando z tiende a zo NO EXISTE.
Cuando se tenga una función que posea discontinuidad evitable se la puede redefinir para hacerla continua a la fuerza.
Clase 8.- 28-02-2014
El día de hoy se realizaron varios ejercicios para reforzar el tema de continuidad, además de entrar con derivación de funciones de variable compleja, las propiedades de derivación de funciones reales no han cambiado pero en el caso de funciones netamente complejas se debe proceder de otra manera.
Por último se realizó un trabajo en clase.
Clase 7 .- 25-02-2014
TEOREMA PARA LÍMITES EN FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA
Sea W=f(Z)=u(x.y)+iv(x,y);Z=(x+iy); Zo=Xo+iYo;
Wo=Uo+iV0=U0(Xo,Yo)+iVo(Xo,Yo)
Si W está definida en una región D que es subconjunto de los Complejos, con las posibles excepción de Zo y u,v son funciones de valor real, se cumple que :
lím f (z) = Wo si y solo si lim u(x,y) = uo Y lim v(x,y) = vo
(z tiende zo) (x,y) tienden (xo,yo) (x,y) tienden (xo,yo)
Tanto como para límites como para derivadas, las propiedades de límites y derivadas no cambian con respecto a las de funciones reales.
PROPIEDADES
CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA
La continuidad en funciones de variable compleja no difiere mucho de lo que es la continuidad en funciones reales, simplemente difiere en el hecho de que tenemos un disco de radio delta como región de aproximación, de manera que para que una función de variable compleja sea continua en Zo debe cumplir lo siguiente:
Lim
f(z) = f(zo)
z tiende a zo
Se tiene dos tipos de discontinuad, la evitable y la inevitable, decimos que una función de variable compleja es evitable cuando existe el limite cuando z tiende a zo de la función a analizar Y además no existe la imagen bajo z de zo O limite de f(z) cuando z tiende a zo es DISTINTO de f (zo)Se dice que una función tiene discontinuidad inevitable cuando el límite de f(z) cuando z tiende a zo NO EXISTE.
Cuando se tenga una función que posea discontinuidad evitable se la puede redefinir para hacerla continua a la fuerza.
Clase 8.- 28-02-2014
El día de hoy se realizaron varios ejercicios para reforzar el tema de continuidad, además de entrar con derivación de funciones de variable compleja, las propiedades de derivación de funciones reales no han cambiado pero en el caso de funciones netamente complejas se debe proceder de otra manera.
Por último se realizó un trabajo en clase.
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