Semana del 03 al 07 de Marzo
Martes 03 de Marzo:
Feriado por Carnaval
Viernes 07 de Marzo:
FUNCIONES ANALÍTICAS
Se dice que una función es analítica en Zo si y solo si f es derivable para todo Z de algún disco de centro Zo y radio r.
PROPIEDADES:
1.- Si f(z) = U(x,y)+i V(x,y) analítica en algún dominio, entonces U y V satisfacen las ecuaciones de Cauchy- Riemann para todo (x,y) del dominio.
Las ecuaciones son:
2.- Si U y V y sus primeras derivadas parciales son continuas y además cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann, entonces la función es analítica.
3.- Sea f(z) analítica en un cierto dominio, entonces U y V son armónicas, es decir cumplen con las ecuaciones de Laplace.
La misma ecuación debe cumplirse pero para la función V, para que dicha función sea armónica.
Martes 11 de Marzo:
FUNCIONES TRASCENDENTES
Se realizaron varios ejercicios de aplicación para determinar si una función es analítica o no.
Se puede dar el caso de que U(x,y) y V(x,y) no estén definidas para un determinado valor, lo que ocasiona que el método de análisis por medio de las derivadas se lo cambie al método de derivadas pero por medio de la definición de derivada parcial.
de manera que se verifican las ecuaciones de Cauchy-Riemann comparando los valores de los límites respectivos (obtenidos después de haber aplicado la definición de derivada parcial)
INTEGRACIÓN EN EL PLANO COMPLEJO
Se aplican las reglas y principios de la integración de funciones reales, salvo el caso de las funciones eminentemente complejas como: Módulo de Z, Conjugado de Z, etc.
en las funciones eminentemente complejas se aplicarán propiedades y teoremas específicos.
En el caso de las integrales indefinidas de funciones analíticas se mantiene la analogía con las funciones reales, sin embargo se presentan ciertas diferencias debido a:
1.- Los números reales se representan en el eje X y las integrales se entienden como una aproximación de la suma de Riemann.
2.- Los números complejos se representan en el plano complejo, lo cual nos lleva a considerar integrales de línea sobre una curva C sobre el plano complejo en lugar de las sumas de Riemann.
3.- En las integrales cerradas se presentan propiedades novedosas y que sólo se cumplen para funciones de variable compleja, así como por ejemplo la integral de Cauchy.
Viernes 14 de Marzo:
CURVAS EN EL PLANO COMPLEJO
Una curva gamma en el plano complejo, es el conjunto de puntos (x,y) que pertenecen al plano complejo, tal que:
gamma: x=x(t);y=y(t)
en un intervalo a<=t<=b
EJEMPLO
En el ejemplo se tiene una circunferencia definida por z(t)=x(t)+iy(t) siendo t es el parámetro, además se define un sentido de la curva , mismo que es positivo cuando sabemos el sentido de aumento del parámetro t.
Para parametrizar un segmento de recta en el plano complejo se lo hace mediante la expresión:
Z(t)=Zo+t(Zf-Zo)
cuando se usa la expresión anterior el intervalo va desde 0 a 1(a<=t<=b)
Obserevacion:
Como X(t) y Y(t) son continuas en a<=t<=b y suponemos que sus derivadas existen, entonces existe la derivada de Z(t), y si la derivada de Z(t) es distinta de cero para todo t que pertenece al intervalo, entonces se puede concluir que gamma es curva suave.
Curva suave por intervalos.- Se llama curva suave por intervalos a aquella que está formada por curvas suaves, en otras palabras está formada por la unión de curvas gamma suaves.
Ejemplo
Se puede tener varios tipos de curvas como por ejemplo:
C1 (azul), C2 (roja ) y C3 (verde) son curvas diferentes pero que pasan por los mismos puntos.
DEFINICIÓN:
Sea Z una función continua, tal que: gamma {Z(t)/alfa<=t<=beta} es una curva, se dice que la curva gamma es DIFERENCIABLE (gamma es suave o regular o no presenta picos) si se cumple
Para todo t que pertenece al intervalo alfa<=t<=beta la derivada de Z(t) es distinta de cero para todos los puntos de ese intervalo.
Martes 18 de Marzo.
INTEGRALES DE LÍNEA
PROPIEDADES IMPORTANTES:
iii)Si gamma es una curva suave representada por z= z(t), para a<=t<=b y f(z) es continua en C, entonces:
La integral de f(z)dz a los largo de la curva gamma es igual a integral definida desde a hasta b de la composición de z(t) en f multiplicada por la derivada de z(t)*dt
Conjunto Simplemente Conexo.- Se dice que D es un dominio simplemente conexo si solamente contiene punto de D, en forma práctica que no tiene huecos.
Propiedad:
Sea gamma una curva suave a intervalos de Z1 a Z2 en un dominio simplemente conexo D. Si f(z) es analítica en D y sea la derivada de F(z)= f(z) en el dominio D entonces:
Integral a lo largo de Gamma de f(z)dz=F(Z2)-F(Z1)
Cabe recalcar que deben cumplirse las condiciones previas antes de querer aplicar alguna de las propiedades.
Longitud de una Curva.- Si gamma está representada por z=z(t), su longitud en un intervalo a<=t<=b, se calcula mediante:
L=integral definida desde a hasta b del módulo de z(t) multiplicada por dt.
En el siguiente documento podrán encontrar más información al respecto.
La principal diferencia con las integrales de línea es que la curva suave gamma es una curva CERRADA.
Se presentan los teoremas e integrales de Cauchy, como propias de integrales de funciones complejas.
En los siguientes archivos se encuentran las propiedades y teoremas que se utilizarán para la resolución de ejercicios que contengan este tipo de integrales, pero hay que recalcar que para aplicar también estos teoremas se deben verificar algunas condiciones que el o los teoremas necesitan como requisito para su aplicación.
En el siguiente archivo se pueden encontrar cosas puntuales de los teoremas fundamentales de las integrales de funciones de variable compleja.
En el siguiente archivo se pueden encontrar cosas puntuales de los teoremas fundamentales de las integrales de funciones de variable compleja.
Ejercicios
http://www.ugr.es/~fjperez/textos/funciones_variable_compleja.pdf
http://www.matap.uma.es/~jjsaame/vca2006-07_archivos/restema5.pdf
Viernes 28 de Marzo
Segunda evaluación.
Sábado 29 de Marzo
Exámen bimestral.
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